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第1章 はじめに
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Contents
第1章 はじめに
1.1 参考書
1.2 評価
1.3 講義内容
第2章 なぜ数値解法をやるのかということ
2.1 可積分と非可積分
第3章 解の存在
3.1 初期値問題の解の存在
第4章 数値解法の基本: Euler method
4.1 Euler 法---一変数の場合
4.2 例:線形方程式の場合
4.3 計算機の精度
4.4 丸め誤差のある場合の収束性
4.5 オイラー法の収束性と打ち切り誤差
4.6 後退オイラー法
4.7 もう少し賢い方法
第5章 ルンゲ・クッタ法
5.1 二次のルンゲ・クッタ法
5.2 公式の次数について
5.3 RK法の一般形
5.4 古典的 Runge-Kutta法
5.5 陽公式の到達可能次数
5.6 刻み幅調節と埋め込み型公式
第6章 陰的ルンゲクッタ公式
6.1 ガウス型数値積分
6.2 数値積分に関する話の続き
6.3 ガウス型公式の次数
6.4 微分方程式への積分公式の適用
6.5 代数方程式の扱い
6.6 ガウス型以外の陰的公式
第7章 線形多段階法
7.1 線形多段階法の考え方
7.2 アダムス法
7.3 出発公式
7.4 陰的アダムス法
7.5 誤差
7.6 ニュートン補間とアダムス公式の実用的導出
7.7 時間刻みを変える時
7.8 計算中の誤差評価
7.9 ルンゲ・クッタとの比較
第8章 外挿法
8.1 数値積分における外挿
8.2 多項式近似の一般論
8.3 ロンバーグ加速
8.4 グラッグ法
8.5 いくつかの話題
8.5.1 振動と平滑化
8.5.2 有理式補外
8.6 時間刻みのとりかた
第9章 微分方程式と数値解の安定性
9.1 定常解の局所的安定性
9.2 特別な場合---散逸のない系
9.3 非線形領域での解
9.3.1 極限周期軌道を持つ場合
9.3.2 カオス的な場合
9.3.3 リヤプノフ指数
第10章 数値解の安定性
10.1 陽的オイラー法の安定性
10.2 後退オイラー法の安定性
10.3 線形多段階法の安定性に関する一般論
10.4 陽的ルンゲ・クッタ公式の安定性
10.5 陰的ルンゲ・クッタ公式の安定性
10.6 補外法の安定性
第11章 硬い微分方程式
11.1 「硬さ」の定義
11.2 A-安定性
11.3 安定な公式を使う上での問題
11.4 完全陰的ルンゲクッタ以外の方法
11.4.1 ギアの後退差分公式(BDF)
11.4.2 半陰的ルンゲクッタ
11.5 課題
第12章 ハミルトン系とそのための解法
12.1 簡単な例題
12.2 2階の微分方程式向きの方法
12.2.1 Stormer-Cowell 法
12.2.2 Runge-Kutta-Nystroem 法
12.2.3 外挿法
12.3 リープフロッグ公式
12.4 数値例
12.4.1 調和振動子
12.4.2 非線形振動
12.5 シンプレクティック公式
12.5.1 陽解法
12.5.2 陰解法
12.5.3 シンプレクティック公式の意味
12.6 シンプレクティック公式の問題点と対応
12.7 問題
12.8 対称型公式
12.8.1 対称型公式とは
12.8.2 ハミルトン系用の陽的対称型RK公式
12.8.3 対称型線形多段法
12.8.4 エルミート型公式
12.8.5 対称型一段公式における時間刻みの変更
12.8.6 対称型一段公式における時間刻みの変更:別のアプローチ
第13章 ハミルトン系用の解法の安定性と「正しさ」
13.1 線形安定性と P-安定
13.1.1 多段階法に対する周期性区間
13.1.2 例: leapfrog 公式
13.1.3 P-安定性
13.1.4 有限の周期性区間を持つ多段階法
13.1.5 ルンゲクッタの場合
13.2 線形問題の場合の数値解と真の解の関係
13.3 非線形問題の場合
13.3.1 周期解の場合
13.3.2 非周期解の場合
13.4 振動的に硬い方程式系
13.5 レポート問題追加
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Jun Makino
Thu Aug 13 14:18:16 JST 1998