さて、補間公式の構成について、まえに説明したのはラグランジュ補間の公式 をそのまま使う方法であった。これはこれで別にいけないわけではないのだが、 もう少しスマートな方法があるので、それを紹介しておく。
補間したい関数 
が、標本点 
で、関数値
をとるとする。これを、以下のような形の多項式
という形に書くことを考える。これを、 
までをとったものは 
までを通る最低次補間多項式になっているように構成すること
にする。で、低い次数から順に作っていく。付け加える新しい項は、それまで
に使った点すべてで0になるので、新しい点で標本と一致するように 
の
値を決めればいい。
まず、n=0 については、 
とすればいいのは明らかであろう。
次にn=1 であるが、
から
となる。同様に、 
を求めると、
ただし、
である。
さて、段々式が繁雑になるが、もうちょっとの辛抱である。上の形は、
というふうにも書き直せることに注意しよう。これは、
を通る補間式
の一次の係数と、 
を通る補間式の係数の差みたいなものになっている。
ここで、天下りに、 k 階差商 (divided difference) 
というものを導入する。これは以下のように定義される。
実は、このように定義された D が、
を満たす、求める係数であることを示すことが出来る。
証明には、
が、 
から始まる k+1点を通る補間多項式の係数
であるということを用いる。定義により
であるの。 ここで、帰納 法を使って証明することにすると、
は、 
を通る k-1次補間多項式であり、また、
は、 
を通る k-1次補間多項式であるとしてよい。こ
の2つの線形結合によって、
を通る補間多項式を作るに
は、
とすればよい。ここで、
と
は、それぞれ 
と
の最高次の係数であることに注意すると、 
の最高次の係数(これは 
に等しい)
は、
で与えられることがわかる。
さて、
という多項式を考えると、これは 
で 
と一致し、
さらに最高次の係数も一致しているので、結局 
であることがわ
かる。つまり、 
が求める補間多項式であり、 
がその最高
次の係数ということになる。