まず、一変数の場合を考えよう。微分方程式の初期値問題
に対して、(前進)オイラー法とは以下のような方法である。
時刻 での数値解が であったとすると、時刻 での数値解を
という形に書く。
上の図に様子を示す。ここでは、真の解(がわかっているものとして)を曲線 で示し、そこから出発したとした。
やっていることはなんということはなくて、真の解に対する時刻 での 接線を数値解ということにしようということである。
ある時刻 での初期条件が与えられて、 での解を求めようという 時に、例えばその区間を n等分して
というふうに を決めてやる。あとは から順に と計算していけば、 での数値解 が求まるわけ である。
直観的には、 n を大きくしていけば、正しい答えに近付いていきそうな気 がするであろう。しかし、そうなるということをどうやって証明すればいいで あろうか?