2次の Runge-Kutta 法とは、以下のようなものであった。
これについては、図的な説明というものが可能である。元の点からまずオイラー 法と同様に接線を引く。が、これを次の時刻まで延ばすのではなく、ステップ の半分のところで止める。で、ここでもう一回微分方程式の右辺を評価する。 ここでの導関数の値を使って、もとのところ から直線を引くわ けである。
実は、2次精度を実現する RK型の公式というのはこれ一つではない。以下のよ うなものも可能である。
さらに、これらの公式を含む一般的な公式を与えることもできる。
もっと一般には、以下の形に書 くことができる。
自然数 s を段数(number of stages)という。 , , はパラメータであるが、a と c は普通
となるようにとる。これは、一般にそうでないような公式は不可能ではないが あまりいいことがない(精度がよくならない)からである。
と、こう、式に書いてしまうとすぐにはわからないが、例えば s=2の場合に 書き下してみると
と、まあ、こんな感じになる。こちらを良く見ればすぐにわかるように、
前の後退オイラー法の場合と同様、なぜ陰的公式といった面倒なものをつくる かというのはよくわからないかもしれない。これについてはあとで説明すると して、まず、陽的公式の例について述べる。