古典力学系のもっとも簡単な例といえば、一次元調和振動子、つまり、運動方 程式では
である。 これの解はもちろん単振動するものであり、それは固有値が純虚数であるから である。
さて、前にも少し述べたように、このような、固有値が純虚数である、いいか えれば中立安定な場合、安定性解析はちょっと厄介になる。というのは、通常 の意味で安定というのは、数値解がいつかは原点にいってしまうということ、 いいかえればエネルギーが保存しないということを意味するからである。
つまり、例えば前回でてきた安定領域のある公式では、ほとんどのもので虚軸 上の一定範囲では数値解が「安定」になってしまう。つまり、本当の解はいつ までも振動を続けるのに、数値解は減衰してしまうのである。もちろん、タイ ムステップを大きくとれば、絶対安定でない限り安定領域から外れるのが普通 （BDFのようにそうでないものもあるが）であり、振動しながら広がっていく ような解になる。安定 領域に虚軸を含まないような公式（例えば前進オイラー公式）の場合では、か ならず軌道が広がっていくことになる。 つまり、虚数軸が安定性限界になっていない限り、必ず軌 道から一方的に外れていってしまうのである。
つまるところ、線形系では安定性限界が虚数軸である（数値解に純虚数の固有 値がある）というのが、数値解が厳密に振動的であるための必要十分条件とい うことになる。この時、数値解はもとの系の性質をある意味で良く表している といえるであろう。
実は多変数の場合や非線形の場合でも本質的な事情は変わらない。ただし、こ ちらはまだいろいろ理論的にはっきりわかっていないことがある。が、大雑把 にいうと同じような事情が成り立っている。つまり、もとが周期解であるとき に、大抵の積分法では周期解から一方的にずれていく、つまり、保存量である はずのエネルギー等が保存しなくなる。
もちろん、エネルギーが厳密には保存しないということが問題であるかどうか というのも実は難しい問題である。というのは、保存しないといってももちろ ん数値解の精度では保存しているわけだから、それでかまわないのではないか と考えられるからである。
数値解の精度で保存しているというので十分かどうかというのは、実は扱う問 題によって違ってくる。さらに、同じ問題（方程式系）であっても、その問 題のどの側面を解析したいかによっても変わってくる。実際にどういうことが 問題になるかはまた次回ということにして、今日はとりあえず古典力学系向け の方法とはどんなものかということを概観する。