Next: 3 線形問題の場合の数値解と真の解の関係 Up: システム数理IV 第12回 Previous: 1 ハミルトン系に対する安定性と「振動的に硬い」系

2 線形安定性と P-安定

ハミルトン系の安定性とかいっても、一般的な議論がそんなにできるわけではなくて、多様な数値積分法に対する安定性のちゃんとした解析が出来ているのは結局線形の問題（調和振動）の場合ということになる。というわけで、まず、調和振動の場合の理論の枠組について説明しておこう。

2.1 多段階法に対する周期性区間

まず、先週紹介した対称型多段階法について、線形安定性の意味をあきらかにしておこう。一階の方程式の場合には、線形安定性とは線形方程式の解がいつかは原点に向かうこと、つまり、線形の方程式に対応する差分方程式の解の実部が負であるということであった。

しかし、ハミルトン系の場合にはこれが数値解がもとの解を表現しているということの適切な条件とはいい難いというのはすでに述べた通りである。というのは、調和振動の場合では明らかなように、真の解というのは無限に振動が続くのに対し、線形安定性の意味で安定な数値解は原点にむかって落ちていくことになるからである。このため、例えばエネルギーは保存し得ない。

というわけで、調和振動の方程式

に、（2階の方程式用の）多段階法

を適用した場合の解について考えてみる。今、

とおけば、数値解法から得られる差分方程式は

と書くことができる。この差分方程式の一般解は、

ここで、は代数方程式

の解であり、とはそれぞれ第一特性多項式、第二特性多項式とよばれるものであり、定義は

である。なお、面倒なので方程式(6) は重根を持たないということにしておく。

さて、一般解が (5)の形で与えられるということは、つまり、数値解が一定の振幅で振動を続けるための条件は、方程式 (6) のすべての解の絶対値が 1 に等しい、つまり

ということである。そんな都合のいいことが本当にあるのだろうか？

2.2 例： leapfrog 公式

というわけで、例によって leap frog 公式

に適用してみることにする。

となるので、とおけば、方程式(6) は

となる。これについては、すぐにわかるように複素数解の絶対値はかならず 1 なので、解の絶対値が 1 である条件というのは単に複素数解をもつ条件ということになり、少し計算すれば

であればよいということがわかる。つまり、ということである。従って、周期の 1/3 より少し小さいくらいの刻み幅をとっておけば、解が振動的であるという性質が保存されているということがわかる。

なお、上の、解の絶対値が 1 であるような Hの領域を、周期性区間 interval of periodicity という。

2.3 P-安定性

さて、線形安定性の時に A-安定性という概念を導入したように、周期性についても同様なことが考えられよう。つまり、周期性区間が非負の実数軸全体を含むということを特に P-安定であるという。P-安定についても、A-安定と同様なダールキストによる以下の結果が知られている：

P-安定な線形多段階法の次数は 2 を越えることが出来ない。

なお、 P-安定な公式は以下の形になる：

これは実は台形公式である。

さて、P-安定な公式というのは台形公式だけなわけだが、実用上は P-安定でなくても、周期性区間が極端に小さくなければ使えるであろう。つまり、 H の最大値が解の周期に対して周期性をたもつ最大のステップの大きさを与えるので、まあ、それが存在して極端に小さくなければいいではないかということになる。そのような、有限の周期性区間をもつ線形多段階法をつくる方法として現在のところ唯一しられているのが、前回出てきた対称型公式である。 Quinlan & Tremaine に従って概要を説明すると、数値解がの形をしているとして、これが従う方程式はもちろん