pt 称

自己重力多体系の物理

牧野淳一郎

粗視化エントロピー、 violent relaxation

1 粗視化エントロピー

前節で扱った、ジーンズ波長より短い摂動の（線形での）減衰は、無衝突系に固 有の現象であり、流体ではこれに対応するものはない。ここでは、まず、その 物理的意味についてもう一度考え直して置こう。

$$f_1(x,v,t) = g(v)\exp[ik(x - vt)]$$ (1)

初期の摂動の位相が $v$ によらないとすれば、その時間発展は上式で与えら れる。したがって、密度はこれを $v$で積分したものであり、式をじっとみれ ばわかるように $g(v)$のフーリエ変換になっている。したがって、$g(v)$を 選べばいろんな時間依存を持つものが作れることになる。

さて、無衝突系では普通の意味ではエントロピー生成はない。 これは、分布関数 $f$ が軌道にそって保存するからであった。しかし、上の 式からわかるように、速度方向の構造は、時間がたつにしたがってどんどん細 かくなっていってしまう。これに対して、実際の系では粒子数が有限であり、 分布関数に無限に細かい構造をつくることが出来るわけではない。また、観測 するとか、数値計算するとかいうことを考えると、どこかで分解能よりも構造 が細かくなってしまうことになる。

つまり、通常のエントロピーは

$$S = \int f \ln f dxdv$$ (2)

であるわけだが、これを適当な分解能で荒く見たものを考えてみよう。それに はいろいろな考え方があるが、ここでは適当なフィルタ $g(x,v;h)$ というものを考 え、

$$\int g(x,v;h) dx dv = 1$$ (3)

$$\lim_{h\rightarrow 0} \int fg(x_0-x, v_0-v; h) dx dv = f(x_0,v_0)$$ (4)

というようなもの、つまり、適当な極限で $\delta$関数になるようなものを 考える。

で、粗視化された分布関数 ${\hat{f}}_h$というものを

$${\hat{f}}_h = \int fg(x-x_1, v-v_1; h) dx_1 dv_1$$ (5)

と定義する。

ちゃんと計算して見せた方がもちろんいいんだけど、結局どういうことがいえ るかっていうと、粗視化されたエントロピー

$$\hat{S} = \int {\hat{f}}\ln {\hat{f}}dxdv$$ (6)

というものを考えると、これは増えるということである。

というわけで、どういう風に増えるかってのは計算練習。

さて、ここで重要なのは、この「粗視化されたエントロピーは増える」という 性質は、平衡からのずれが線形でも非線形でも変わらないということである。 言い換えれば、仮にいま平衡状態から遠くはなれたものをなにか考えたとして、 その時間進化を適当に粗視化したエントロピーで見たとしよう。そうすると、 $\hat{S}$は時間がとともに増えて、そのうちにある定常値に達する。しかし、 これは、あくまでも速度空間での分布関数の構造が粗視化のために分解できな くなったというだけで、系が物理的に平衡状態に向かって進化しているわけで はないことに注意しなければならない。

2 Dynamical Friction

さて、ここで少し違った状況を考えてみる。今、温度0（だと、本当はジーン ズ不安定が起きるわけだがこれはとりあえず考えない、すなわち自己重力は無 視する）の、無限に一様な物質分布の中を、適当な大きさを持った球対称なポ テンシャルの摂動（質点によるものでもOK）が動いているとしよう。

座標系はこの質点の運動の方向を対称軸にとった円筒座標で考えていい。この 時、バックグラウンドの物質がどう動くかを考えると、質点の方に固定した座 標系では図のようになる。つまり、平行に入ってきたものが散乱されるだけで ある。

ここで、しかし、もともとの止まっていた物質分布に固定された座標系で考え ると、散乱されたものは、左向きと中心向きの速度をもらうことになり、ネッ トに加速されている。つまり、エネルギーをもらっているのである。

9cm

回りがネットにエネルギーをもらっているので、動いている質点のほうは減速 されなければならない。これが dynamical friction と呼ばれるものである。 この効果は、別に動いているものが単純な質点のポテンシャルとかでなくても、 3次元空間のなかで有界なものが動いていれば常に働くということに注意して ほしい。

すなわち、一方向に進む平面波というようなものを考えるとネットにエネルギー のやりとりは出来ないことになるが、孤立波とか非周期的な摂動とかを考える とちゃんとそれが非線形なダンピングを受けることになる。

もうちょっと別な例としては、サイクロトロン加速をあげることができる。こ の場合、加速される粒子はエネルギーをもらっても周期が変わらないため、電 場を周期的に掛けることで（非相対論的な範囲で）加速を続けることができる。

このように、摂動と回りの相互作用を考えれば、実際にエネルギー交換がおき てそれが摂動のエネルギーを回りに伝えるということ自体は起こり得る。

ただし、この場合でも、やはりエントロピー生成はないということは依然とし て注意が必要である。 Dynamical Friction の例では、質点の運動エネルギー （これはエントロピーを持たない）が回りの粒子の運動に変換されたわけだが、 回りの粒子の運動は依然としてシステマティックなものでありランダム成分を 持たないので、エントロピーは生成されていないのである。

3 Violent relaxation

3.1 理論

ここまで述べてきたことは、

• 無衝突過程では (phase mixing では)、粗視化エントロピーを増 やすことができる。

• 重力があっても、線形の phase mixing 以外の要因で粗視化エントロピーが増えるわけではない。

とまとめることができる。

phase mixing では粒子のエネルギーが変 わらないので、通常の意味で熱平衡に近付いているのではないということはあ きらかであろう。しかし、重力がある場合はどうだろう？エントロピーが生成さ れていないからといって、なんらかの意味で熱平衡に近付いていないと断言で きるだろうか？

このような問題意識には、観測的な理由もないわけではない。それは、楕円銀 河というものの存在である。

楕円銀河というのは、結構たくさんあるわけだが、これはどれも似たような形 をしている。これはたんに形が似ているというだけではなく、実は、半径方向 の密度（表面輝度）分布に比較的に共通性が高いということがわかっている。 具体的には、いわゆる $r^{1/4}$則、あるいは Hernquist Profile で良く近 似できているわけである。

楕円銀河がどういうふうにして出来たかは良くわかっていないが、初期条件が どれもこれも非常に良く似ていたというのはあまりありそうにない。それにも 関わらず、みんなが良く似た形をしているというのは、なんらかの熱平衡にむ かうような緩和過程の存在を示唆しているのかもしれない。

というようなことを考えて、 Lynden-Bell (1967) は violent relaxation と いうものを提案した。彼の論理は、大雑把にいうと以下のようなものである

• 系がまだ力学平衡に落ちついていないあいだ、密度分布、したがってポ テンシャルは複雑な時間変化をする。これは、それぞれの粒子エネルギーを変 える。

• 粒子のエネルギーの変わり方は初期の位置（位相空間内での）によって 決まるので、エントロピーが変わるとか、ランダム化されるとかいうことはな いが、粗視化してみれば粒子のエネルギーの変わり方はランダムとみなせるは ずである。

• 従って、このランダムな変化に対する熱平衡が存在するはずである。こ れを Lynden-Bell統計と名付ける。

• 力学平衡に向かう間は、単に phase mixing だけが起こっているわけで はなくこの Lynden-Bell統計に向かう進化も同時に起きているはずである。

なお、 Lynden-Bell統計であって普通のMaxwell-Boltzman統計には従わない理 由は、 $f$ の値に制約がある（初期の分布の最大値を超えられない）からで あるそうである。

Lynden-Bell は大変偉い先生であるので、この提案は大きな影響力を持った （現在も持っている）。

3.2 帰結

上の、 violent relaxation が本当に有効に働くとすると、どんなことがおき ることになるかをちょっと考えてみる。これによって起きる緩和は、いくつか の点で通常の熱平衡に向かうものと異なっている。

• 系がまだ力学平衡に落ちついていないあいだ、密度分布、したがってポ テンシャルは複雑な時間変化をする。これは、それぞれの粒子エネルギーを変 える。

• 等分配が働かない。これは、（単位質量当たりの）エネルギー変化が位 置だけで決まるからである。

• 通常の意味で平衡に近付くかどうかは本当はわからない。普通の緩和過 程では、エネルギーの高い粒子はそれを失う傾向があるし、低いものはもらう 傾向があるが、そういう傾向は特にないためである。

• 緩和がどの程度進むかはわからない。力学平衡に落ちつけばエネルギー 変化は止まってしまうからである。

3.3 数値実験とその解釈

Violent relaxation というのは、いろいろな意味で魅力的な提案であったの で、数値実験によって実際にそんなにうまくいくかどうか調べようという試み が多数なされている。ここでは、その代表的なものである van Albada (1982, MNRAS 201, 939)を取り上げて、どんな結果になったかをまとめる。

計算は極座標でポアソン方程式を球面調和関数展開してポテンシャルを求める 計算法によっている。このために、 1982 年というかなり昔でありながら、 5000粒子というこの目的には十分な数の粒子（粒子の数の意味については 来週扱う）を使うことができた。

初期条件は、粒子に少しだけランダム速度を与えて、大体球状（実際には、い ろいろ変化させているが）に分布させ、手を離してどうなるか見るというもの である。

9cm

この図は、あるケースについて $N(E)$をプロットしたものである。 $N(E)$は 分布関数ではなく、 $N(E)dE = dN$ を満たすような、つまりはあるエネルギー 範囲にある粒子の数である。これを使うのは、数値計算で実際に分布関数 $f$ を求めるのはいろいろ困難があるのにたいし、理論計算では $f$から $N$ を 出すのは機械的だからである。

初期には狭いところに集まっているが、落ちついたあとでは広がっている。こ れは、ある程度まで violent relaxation というものが起こっているというこ とを示してはいる。

6cm

これは、初期のエネルギーと落ちついた後のエネルギーの関係を示している。 明らかにわかることは、非常に強い相関が残っているということである。つま り、もともとエネルギーが低かったものは相対的に低いまま、高いものは高い ままに留まる傾向がある。

9cm

これはさまざまな初期条件からの結果をすべてまとめたものである。（$N(E)$ をプロット）初期条件によって、 $N(E)$はいろいろであり、とてもある一つ のものに向かうといえるようなものではないということが見てとれるであろう。

3.4 まとめ

結局のところ、 Lynden-Bell が主張したような violent relaxation は、全 く働かないというわけではないが十分に熱平衡に近い状態を実現できるほど有 効に働くわけでもない。このために、無衝突系の最終状態は初期条件の記憶を 強く残している。

例えば楕円銀河が合体で出来たという説に対する反論として、「合体したら violent relaxation によってよく混ざるはずであるから、 color gradient などの構造があるのはおかしい」という主張がなされたことがあったが、現在 ではこれは合体説に対する反証とは考えられていない。

Violent relaxation の主張というのは、要するにシステムが力学平衡か ら遠く離れていれば、全体として振動する。その振動が系の各粒子のエ ネルギーを位相に依存する複雑な方法で変化させるので、これはランダ ムな変化と同様になり、系をある平衡状態に導くというものであった。 しかし、数値実験の結果はそうなっていないし、それは基本的には上の メカニズムが十分に熱平衡に近い状態を実現できるほど有効に働くわけ ではないということで理解できる。

それならば、楕円銀河がそれなりによく似ているということには、さら にまた別の説明が必要であるということになろう。ここでは、２つの考 え方を紹介する。

3.5 N(E) の連続性

Violent relaxation で「平衡状態」にいくというわけではないにしても、 楕円銀河が円盤銀河とはちがった何らかの力学的な進化、すなわち Lynden-Bell が想定したような系全体の振動のようなものを経験したと 考えるのはそれほど不自然ではないであろう。

では、そのような系全体の振動というものを考えた時に、分布関数につ いてなにかいえることはないだろうか？実は、問題が３次元であるとい うことから、分布関数が特徴的な性質をもつであろうということが直接 にいえる。80年代以降、このことは「何となく」理解されていたようで あるが、ある程度明確に述べたのは、 IAU Symposium 127 ``Structure and Synamics of Elliptical Galaxies'' での Scott Tremaine (Conference Summary) と W. Jaffe (Poster) の発表であったようであ る。 Tremaine の記録に残っている集録原稿は要領を得ないものである ので、以下 Jaffe にしたがって簡単にまとめる。

何らかの原因、例えば他の銀河と合体するとか、合体しないまでも近く を通り過ぎるとかで大きな振動が励起されたとする。すると、それが構 成する各粒子のエネルギーを変化させることになる。

エネルギーが変化した粒子のなかには、もちろん、エネルギーが正、す なわち系に束縛されなくなってそのまま無限遠にいってしまうものもあ る。また、そうでなくても、エネルギーがある程度 0 に近ければ、一旦 遠くにいって、また戻ってくる頃には系はほとんど落ちついているので、 それ以上エネルギーが変化するということはない。

このような、エネルギーが0に近い粒子の分布というものを考えてみる。 なんらかの熱平衡のようなものを考えると、このあたりに粒子がたくさ んないといけないことになる。というのは、エネルギーが高いほど空間 的な体積が大きいので、熱平衡になるためにはその体積にくまなく粒子 を分布させる必要があるからである。熱平衡とすれば、結局エネルギー が高くなるほど粒子が多いことになって質量が発散してしまうのは前に 述べた通りである。

しかし、実際にこのようなエネルギーが0に近い粒子が形成されるプロセ スを考えてみると、このような熱平衡にいくとか質量が発散するとかい うことは起こらない。これは、このプロセスが、エネルギー 0 の平 衡状態に相当する遠く離れたところで起きるのではなく、系の中心付近 でしか起こらないからであり、また、このプロセスがすぐに止まってし まうからでもある。

結果として、エネルギーが0に近い粒子というものは確かに作られるが、 その分布は熱平衡を満たすようにはならない。ではどうなると考えられ るであろうか？実際にそういった粒子が出来るところを考えてみると、 例えばエネルギーが正になってしまうかどうかを知っているわけではな いし、どれくらいの phase volume があるかどうかということを知って いるわけでもない。従って、エネルギーが0に近い粒子の分布は、 $N(E)$が 特異でない（発散したり 0 にいったりしなくて、おそらく微 分可能である）ということによって特徴付けられると考えていいと思わ れる。

実際、前回例に出した van Albada の数値実験では多くの場合にそうなっ ていたわけである。

これは、 $N(E)$ が、 $E=0$ の付近、すなわち、大雑把にいって $r\rightarrow \infty$ の極限で、 $N(E) = N_0 + N_0'E \cdots$の形 の展開を持ち、特に $N_0 > 0$ であるということを意味する。

3.6 N(E)から分布を？

さて、$N(E)$ について何かわかったとして、それから直ちに分布関数 $f$ なり密度 $\rho$ についてなにかいえるわけではない。仮に球対称 を仮定したとしても、角運動量分布の自由度があるからである。以前に ジーンズ方程式について議論した際に、系の中心にカスプがあるという ような観測から分布関数やポテンシャルについてなにかをいうことは必 ずしも可能ではないということがわかった。今回も同じような困難があ るのではないだろうか？

とりあえず、困難はおいておいていろいろやってみることにしよう。定 義により「十分外側」を考えるので、ポテンシャルは

$$\Phi = -M/r$$ (7)

で与えられるとする。単純な例として、すべての粒子が円軌道を回る、 すなわち最大の角運動量を持つ場合を考える。もちろんこんなことは現 実にはあり得ないが、とりあえず計算は簡単なのでいいことにしよう。 円軌道の式からすぐにわかるように、

$$E = -{M \over 2r}$$ (8)

である。つまり、エネルギーが決まれば中心からの距離が決まる。した がって、密度を求めるにはヤコビアンを計算すればいい。つまり

$$dM = \vert 4\pi r^2 \rho dr\vert = \vert N(E) dE\vert$$ (9)

と、式8からでる

$${dE \over dr} = {M \over 2r^2}$$ (10)

から、

$$\rho = {M N(E) \over 8\pi r^4}$$ (11)

を得る。

円軌道は特殊なので、もうちょっと違うことを考えれば違う答がでるの ではないかと心配になるが、たとえば Jaffe (1987) は、等方的な場合 にもやはり $\rho \propto r^{-4}$ を示している。もちろん、これもあ まり信用できるわけではない、というのは、実際の粒子の分布は、角運 動量に強く依存するものになっていると考えられるからである。

それなら、逆の極限、すなわち、すべての粒子が角運動量を全く持たな い場合はどうであろう？実は、この場合にも円軌道と同じ結果になるこ とがわかる。これは、実際に軌道が解けるので、エネルギーごとにある 位置への滞在確率を求めて積分すれば密度が求まるが、その式から結局 滞在確率が外にでてしまうからである。

もうちょっと厳密に示そう。 あるエネルギー$E$の粒子が、中心からの距離がある範囲 $(r, r+dr)$に いる確率が$P(E,r)dr$で書けるとすれば、密度は

$$4\pi r^2\rho = \int_{E_r}^0 P(E,r)N(E)dE$$ (12)

で与えられる。ここで $E_r$ は距離 $r$ に到達できるエネルギーの最 小値であり、$-M/r$ で与えられる。いま、ケプラーポテンシャルのなかでの直線軌道を考え ているので、 $P(E,r)$は書き下すことができ、特に

$$P(E,r) = P_0(r/r_E)/r_E$$ (13)

の形に表現できる。ここで $r_E = -M/E$である。さらに $x= rE/M$ とい う変数変換を行なって適当に整理すると、

$$\rho = {M \over 4\pi r^4} \int_{-1}^0 -P_0(x) x N(Mx/r)dx$$ (14)

これから、 $r\rightarrow \infty$ の極限で、積分の中が収束すること がわかる。従って、すべてが radial orbit の場合も円軌道の場合もお なじことになる。

それでも一般に $J$ に分布があったら違うのではと心配になる向きは、 実際に計算してみよう。つまり、 $N(E,J)$ の形で実際に分布を与え、 $J$についての依存性にどのような制約があれば上と同様の結果が得られ るか調べてみよう。ここでは結論だけを述べておくと、かなりゆるい条 件のもとでOKであることがわかっている。

3.7 N(E)についてのまとめ

結局、比較的一般的な条件として、自己重力系で力学平衡から大きくず れた振動などを経験した場合には、 $N(E)$ が $E\sim 0$ で連続という 条件から、 $\rho \sim r^{-4}$ という結論が出せる。これは、前にモ デルのところででてきた Hernquist model や Jaffe model に共通な性 質であり、これらは、（中心部の構造が全く違うにも関わらず）どちら も楕円銀河に良く合うとされている。「観測的に楕円銀河の性質が共通 である」というのはその程度の意味であると考えるべきかもしれない。 つまり、基本的には外側のほうで $\rho \sim r^{-4}$に漸近していくよ うな構造というのが本質ではないかと考えられる。

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自己重力多体系の物理

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翻訳は Jun Makino によって 平成24年9月30日 に実行されました。