1 Violent relaxation （続き）

前回は、楕円銀河がどれも良く似たような形をしているのは何故かとい うことを説明するひとつのモデルとして、 Lynden-Bell が提唱した violent relaxation の考え方を紹介し、それが適当なものであるかどう かを検討した。

Violent relaxation の主張というのは、要するにシステムが力学平衡か ら遠く離れていれば、全体として振動する。その振動が系の各粒子のエ ネルギーを位相に依存する複雑な方法で変化させるので、これはランダ ムな変化と同様になり、系をある平衡状態に導くというものであった。 しかし、数値実験の結果はそうなっていないし、それは基本的には上の メカニズムが十分に熱平衡に近い状態を実現できるほど有効に働くわけ ではないということで理解できる。

それならば、楕円銀河がそれなりによく似ているということには、さら にまた別の説明が必要であるということになろう。ここでは、２つの考 え方を紹介する。

1.1 N(E) の連続性

Violent relaxation で「平衡状態」にいくというわけではないにしても、 楕円銀河が円盤銀河とはちがった何らかの力学的な進化、すなわち Lynden-Bell が想定したような系全体の振動のようなものを経験したと 考えるのはそれほど不自然ではないであろう。

では、そのような系全体の振動というものを考えた時に、分布関数につ いてなにかいえることはないだろうか？実は、問題が３次元であるとい うことから、分布関数が特徴的な性質をもつであろうということが直接 にいえる。80年代以降、このことは「何となく」理解されていたようで あるが、ある程度明確に述べたのは、 IAU Symposium 127 ``Structure and Synamics of Elliptical Galaxies'' での Scott Tremaine (Conference Summary) と W. Jaffe (Poster) の発表であったようであ る。 Tremaine の記録に残っている集録原稿は要領を得ないものである ので、以下 Jaffe にしたがって簡単にまとめる。

何らかの原因、例えば他の銀河と合体するとか、合体しないまでも近く を通り過ぎるとかで大きな振動が励起されたとする。すると、それが構 成する各粒子のエネルギーを変化させることになる。

エネルギーが変化した粒子のなかには、もちろん、エネルギーが正、す なわち系に束縛されなくなってそのまま無限遠にいってしまうものもあ る。また、そうでなくても、エネルギーがある程度 0 に近ければ、一旦 遠くにいって、また戻ってくる頃には系はほとんど落ちついているので、 それ以上エネルギーが変化するということはない。

このような、エネルギーが0に近い粒子の分布というものを考えてみる。 なんらかの熱平衡のようなものを考えると、このあたりに粒子がたくさ んないといけないことになる。というのは、エネルギーが高いほど空間 的な体積が大きいので、熱平衡になるためにはその体積にくまなく粒子 を分布させる必要があるからである。熱平衡とすれば、結局エネルギー が高くなるほど粒子が多いことになって質量が発散してしまうのは前に 述べた通りである。

しかし、実際にこのようなエネルギーが0に近い粒子が形成されるプロセ スを考えてみると、このような熱平衡にいくとか質量が発散するとかい うことは起こらない。これは、このプロセスが、エネルギー 0 の平 衡状態に相当する遠く離れたところで起きるのではなく、系の中心付近 でしか起こらないからであり、また、このプロセスがすぐに止まってし まうからでもある。

結果として、エネルギーが0に近い粒子というものは確かに作られるが、 その分布は熱平衡を満たすようにはならない。ではどうなると考えられ るであろうか？実際にそういった粒子が出来るところを考えてみると、 例えばエネルギーが正になってしまうかどうかを知っているわけではな いし、どれくらいの phase volume があるかどうかということを知って いるわけでもない。従って、エネルギーが0に近い粒子の分布は、 $N(E)$が 特異でない（発散したり 0 にいったりしなくて、おそらく微 分可能である）ということによって特徴付けられると考えていいと思わ れる。

実際、前回例に出した van Albada の数値実験では多くの場合にそうなっ ていたわけである。

これは、 $N(E)$ が、 $E=0$ の付近、すなわち、大雑把にいって $r\rightarrow \infty$ の極限で、 $N(E) = N_0 + N_0'E \cdots$の形 の展開を持ち、特に $N_0 > 0$ であるということを意味する。

1.2 N(E)から分布を？

さて、$N(E)$ について何かわかったとして、それから直ちに分布関数 $f$ なり密度 $\rho$ についてなにかいえるわけではない。仮に球対称 を仮定したとしても、角運動量分布の自由度があるからである。以前に ジーンズ方程式について議論した際に、系の中心にカスプがあるという ような観測から分布関数やポテンシャルについてなにかをいうことは必 ずしも可能ではないということがわかった。今回も同じような困難があ るのではないだろうか？

とりあえず、困難はおいておいていろいろやってみることにしよう。定 義により「十分外側」を考えるので、ポテンシャルは

$$\Phi = -M/r$$ (1)

で与えられるとする。単純な例として、すべての粒子が円軌道を回る、 すなわち最大の角運動量を持つ場合を考える。もちろんこんなことは現 実にはあり得ないが、とりあえず計算は簡単なのでいいことにしよう。 円軌道の式からすぐにわかるように、

$$E = -{M \over 2r}$$ (2)

である。つまり、エネルギーが決まれば中心からの距離が決まる。した がって、密度を求めるにはヤコビアンを計算すればいい。つまり

$$dM = \vert 4\pi r^2 \rho dr\vert = \vert N(E) dE\vert$$ (3)

と、式2からでる

$${dE \over dr} = {M \over 2r^2}$$ (4)

から、

$$\rho = {M N(E) \over 8\pi r^4}$$ (5)

を得る。

円軌道は特殊なので、もうちょっと違うことを考えれば違う答がでるの ではないかと心配になるが、たとえば Jaffe (1987) は、等方的な場合 にもやはり $\rho \propto r^{-4}$ を示している。もちろん、これもあ まり信用できるわけではない、というのは、実際の粒子の分布は、角運 動量に強く依存するものになっていると考えられるからである。

それなら、逆の極限、すなわち、すべての粒子が角運動量を全く持たな い場合はどうであろう？実は、この場合にも円軌道と同じ結果になるこ とがわかる。これは、実際に軌道が解けるので、エネルギーごとにある 位置への滞在確率を求めて積分すれば密度が求まるが、その式から結局 滞在確率が外にでてしまうからである。

もうちょっと厳密に示そう。 あるエネルギー$E$の粒子が、中心からの距離がある範囲 $(r, r+dr)$に いる確率が$P(E,r)dr$で書けるとすれば、密度は

$$4\pi r^2\rho = \int_{E_r}^0 P(E,r)N(E)dE$$ (6)

で与えられる。ここで $E_r$ は距離 $r$ に到達できるエネルギーの最 小値であり、$-M/r$ で与えられる。いま、ケプラーポテンシャルのなかでの直線軌道を考え ているので、 $P(E,r)$は書き下すことができ、特に

$$P(E,r) = P_0(r/r_E)/r_E$$ (7)

の形に表現できる。ここで $r_E = -M/E$である。さらに $x= rE/M$ とい う変数変換を行なって適当に整理すると、

$$\rho = {M \over 4\pi r^4} \int_{-1}^0 -P_0(x) x N(Mx/r)dx$$ (8)

これから、 $r\rightarrow \infty$ の極限で、積分の中が収束すること がわかる。従って、すべてが radial orbit の場合も円軌道の場合もお なじことになる。

それでも一般に $J$ に分布があったら違うのではと心配になる向きは、 実際に計算してみよう。つまり、 $N(E,J)$ の形で実際に分布を与え、 $J$についての依存性にどのような制約があれば上と同様の結果が得られ るか調べてみよう。ここでは結論だけを述べておくと、かなりゆるい条 件のもとでOKであることがわかっている。

1.3 N(E)についてのまとめ

結局、比較的一般的な条件として、自己重力系で力学平衡から大きくず れた振動などを経験した場合には、 $N(E)$ が $E\sim 0$ で連続という 条件から、 $\rho \sim r^{-4}$ という結論が出せる。これは、前にモ デルのところででてきた Hernquist model や Jaffe model に共通な性 質であり、これらは、（中心部の構造が全く違うにも関わらず）どちら も楕円銀河に良く合うとされている。「観測的に楕円銀河の性質が共通 である」というのはその程度の意味であると考えるべきかもしれない。 つまり、基本的には外側のほうで $\rho \sim r^{-4}$に漸近していくよ うな構造というのが本質ではないかと考えられる。

1.4 中心部の構造

さて、それでは、中心部の構造についてはなにもいえないのであろうか？これ は実はまだ良くわかっていない問題である。10年前に、 Navarro たち （ApJ 1997, 490, 493) は、数値計算の結果をもとに以下のような主張をした

• CDM シナリオによる構造形成を考えた時、 CDM が作る自己重力系 （ガスとか星を考えない）は
  

  $$\rho \propto {1 \over r_*(1 + r_*)^2}$$ (9)

  
  
  の形に書ける
• この形はユニバーサルで、例えば一つの銀河でも銀河団でも同じ である

これは、極めて有名になった NFW プロファイルである。

彼らはなぜそのようなことが起きるかについての解釈とか説明は特に与 えていないが、例えば Syer and White (MN 1998, 293, 337)といった人 達が説明を考えてはいる。

しかし、実は、Navarro たちの結果の解釈は割合すぐに異論がでて おり、 CDM と初期条件を制限しても、例えば Fukushige and Makino (ApJ 1997, 477 L9) とか Moore et al. (ApJ 1998, 499, 5L) を見ると、 上の「ユニバーサル」な形になったのは数値誤差のせいという主張が なされている。これらの結果では Navarro たちのも のより中心で等温に近くなっている。 Navarro らの結果は 1 万粒子程度であ るが、 Fukushige ら、 Moore らは 100 万粒子程度であり、数値誤差の影響 が小さくなっていることは間違いない。「真の」のスロープがどうなるかにつ いては現在も活発な研究が続いているが、現時点では、CDM からの数値 実験でできるハローの中心部は NFW よりもスロープの傾きが大きいというこ とはほぼ万人の認めるところになったようである。

全く余談であるが、福重君はこの仕事とその続きで天文学会研究奨励賞をもらっ た。

さらにもっと余談であるが、福重君がこの計算をした動機は、1996年に GRAPE-4 を使って何か大きな計算で高い実効性能を出したい(Gordon Bell Prize に応募したい)、そのためにはとにかく粒子数が沢山必要で、普通の treecode とかではできないようなシミュレーションでよいネタがないか？と か色々考えたことである。

つまり、現状では、中心部（というか、 half mass radius より内側）の構造は、

• 第0近似としては半径の $-1.5$ 乗程度のカスプになる。
• どういうメカニズムでそうなるかはまだよくわからない

という状況であるといえる。