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• 1 問題

1 シューティング法

常微分方程式

$${{dy_i}\over{dx}} = f_i[x,y_j(x)]$$ (1)

$i, j = 1, 2, 3, ..., 2n$ において、$x=x_0$ で

$$g_k[y_j(x_0), x_0] = 0$$ (2)

（但し、$k=1, ..., n$）、且つ$x=x_1$で

$$g_l[y_j(x_1), x_1] = 0$$ (3)

（但し、$l=n+1, ...,2n$）を満たすよう解を求める場合を考えよう。 境界値問題という訳である。 例えば、初期値問題の例に挙げたのと同じ微分方程式

$${{d^2y}\over{dx^2}}+y=0$$ (4)

を、$x=0$で$y=1$, $x=\pi/2$で$y=0$の下で解く境界値問題として考えよう。

与えられた境界から、もう一方の境界に向かって初期値問題として積分する事を考える。 決められている条件は、$x=0$で$y=1$だけだから、初期値問題として積分を進めるた めにはもう一つ条件を課す必要がある。そこで、$x=0$での$dy/dx$にある値を与えて 積分していくことにする。いろいろと、このパラメーターを変えてみて、もう一方の 境界での条件$x=\pi/2$で$y=0$を満たすようなパラメーターを捜せば良い。 シューティング法という。 場合によっては、境界条件が特異になっていて、シューティング法ではなかなか当た りが見つからない事がある。この様な場合は、それぞれの境界から、初期値問題とし て他方の境界に向かって積分していき、ある適当な点（フィッティングポイント）で、 双方の解が接続するようにパラメーターを決める。これをフィッティング法と呼ぶ。

1 問題

$${{d^2y}\over{dx^2}}+y=0$$ (5)

を、$x=0$で$y=1$, $x=\pi/2$で$y=1/4$という境界条件の境界値問題として、 シューティング法により、数値的に解け。

$z\equiv dy/dx(x=0)$、 $Y\equiv y(x=\pi/2)$とすると、 この問題は$Y(z)=1/4$となる$z$を求める ことと同じである。 手順としては、 先ず、適当に選んだ$z_{\rm t}$に対する$Y$を 求める。 次に、$z$の値を$z_{\rm t}$から $z_{\rm t}+\delta z$に変えて、 $Y$の変化量を求める。 これから

$$dY/dz = [Y(z_{\rm t}+\delta z)-Y(z_{\rm t})]/\delta z$$ (6)

を数値的に求める。 今、$z_{\rm t}$の値が、真の解$z_0$から $\Delta z$ずれているとすると、１次の精度で、

$$Y(z_{\rm t}) + (dY/dz)\Delta z =1/4$$ (7)

そこで、

$$z=z_{\rm t}+\Delta z=z_{\rm t}+\{1/4- Y(z_{\rm t})\}/(dY/dz)$$ (8)

を改めて$z_{\rm t}$として、再び$dY/dz$を計算し、 $\Delta z$が充分小さくなるまで、逐次計算を繰り返せば良い。