5 問題：ポリトロープガス球

1. 指数 $N=1.5$、$N=3$、及び $N=4$ の場合について、Lane-Emden equation を Runge-Kutta 法を用いて数値的に解け。
2. 太陽が $N=3$ のポリトロープで近似できるとして、その内部構造を求めよ。 但し太陽半径 $R_\odot = 6.96 \times 10^5$ km、 太陽質量 $M_\odot = 1.99 \times 10^{30}$ kg とし、内部は完全気体の状態方程式
   

   $$P_{\rm gas}= N k T$$ (367)

   
   
   に従うものとする。 ここで$N$ は単位体積当たりの全粒子数、$k$ はボルツマン定数。 今、水素、ヘリウム、それ以外の元素が質量比 $(X,Y,X_i)$ である 完全電離理想気体を考える。水素原子の質量を $m_{\rm H}$ で表わすとすると、 水素については核の数密度は $\rho X/m_{\rm H}$、電子の数密度は同じく $\rho X/m_{\rm H}$ 、ヘリウムについては核の数密度は $\rho Y/(4m_{\rm H})$、 電子の数密度は $\rho Y/(2m_{\rm H})$、それら以外の元素については、それぞれの 元素の atomic weight を $A_i$、atomic number を $Z_i$ とすると、 核の数密度は $\rho X_{i}/(A_{i}m_{\rm H})$、 電子の数密度は $\rho X_{i} Z_i/(A_{i}m_{\rm H})$ だから、 全粒子数 $N$ は
   

   $$N = {{\rho}\over{m_{\rm H}}} \left( 2X + {{3}\over{4}}Y + \sum_i {{Z_i + 1}\over{A_i}}X_i \right)$$ (368)

   
   
   となる。 重元素については $(Z_i + 1)/A_i \sim 1/2$ だから、 水素とヘリウム以外の元素の質量比を$Z$ $(Z=1-X-Y=\sum_i X_i)$ と表わす事にすれば、
   

   $$N= {{\rho}\over{\mu m_{\rm H}}}$$ (369)

   
   
   であり、ガス圧は
   

   $$P_{\rm gas} = {{\rho}\over{\mu m_{\rm H}}} k T$$ (370)

   $$= {{\cal R}\over{\mu}}\rho T$$ (371)

   
   
   ここに$\mu$ は
   

   $$\mu^{-1} = 2X +{{3}\over{4}}Y + {{1}\over{2}}Z$$ (372)

   
   
   で、平均分子量と呼ぶ。また ${\cal R}\equiv k/m_{\rm H} = 8.314510\times 10^3$ J$\cdot$kg$^{-1}\cdot$K$^{-1}$。 ( $k = 1.380658 \times 10^{-23}$ J$\cdot$K$^{-1}$、 $m_{\rm H} = 1.672623\times 10^{-27}$ kg)。 太陽の水素、ヘリウム、金属の質量比はそれぞれ $X=0.75$、$Y=0.23$、$Z=0.02$ とする。