1 問題：黒体輻射

熱平衡にある完全黒体の物体から放射される光を黒体輻射と呼ぶ。単位面積から単位 立体角に放射される黒体輻射のエネルギー$B(T)$は、Planckの輻射式

$$B(T)d\lambda = {{2hc^2}\over{\lambda^5}}{{1}\over{\exp(hc/\l... ...rm J}\cdot {\rm m}^{-2}\cdot {\rm s}^{-1}\cdot {\rm str}^{-1})$$ (362)

に従う。但し、ここで、$h$はPlanck定数、$k$はBoltzman定数、$c$は光速を表す。 輻射エネルギー分布を$T = 3{ \rm K}$、$300 {\rm K}$、$3,000 {\rm K}$、 $30,000 {\rm K}$について、計算せよ。 $hc/\lambda \gg kT$ の場合、輻射エネルギー分布はWienの法則

$$B(T)d\lambda \simeq {{2hc^2}\over{\lambda^5}}\exp(-hc/\lambda kT) d\lambda$$ (363)

で近似される事、逆に $hc/\lambda \ll kT$の場合には、輻射エネルギー分布はRayleigh-Jeansの法則

$$B(T)d\lambda \simeq {{2kTc}\over{\lambda^4}} d\lambda$$ (364)

で近似される事を確かめよ。 また、黒体輻射のエネルギー強度が最大になる波長 $\lambda_{\rm max}$は、 Wienの変位則

$$\lambda_{\rm max} T = 2.897 \cdot 10^{-3}~~~~{\rm m}\cdot {\rm K}$$ (365)

を満たす事を確かめよ。 ただし、 $h = 6.6260755\times 10^{-34} {\rm J}\cdot{\rm s}$， $k = 1.380658 \times 10^{-23} {\rm J}\cdot{\rm K}^{-1}$， $c = 2.99792458 \times 10^8 {\rm m}\cdot{\rm s}^{-1}$ とせよ。