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Newton-Raphson法は、関数
が単調連続で変曲点がなく、且つ導関数
が
数値的に求められる時に利用できる数値解法で、収束が速く、広く用いられている。
いま、曲線上の点
での接線と
-軸との交点を
とすると、
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(9) |
だから、
解の適当な推定値から始めて、反復公式
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(10) |
を繰り返すと、
漸近的に解に達する。
Figure 6.1:
Newton-Raphson法の概念図。
 |
収束の判定条件としては、ある
に対して、
- 二つの近似解間の差
- 二つの近似解間の相対差
- 二つの近似解関数値間の差
等が考えられるが、1と2の条件では、
の値が大きいと、真の解に未だ
充分近くないのに満たされてしまう場合があるので、3の条件を判定条件として用いる
方が誤った解を出してしまう危険性がすくない。
以下の外部関数rtnewtは、関数
をfuncdとして、
となる解を
Newton-Raphson法で解くプログラム例である
。収束判定条件は上記1を使っている。
function rtnewt(funcd,x1,x2,xacc)
Implicit NONE
Integer JMAX
Real rtnewt,x1,x2,xacc
external funcd
Parameter (JMAX=20) !Set to maximum number of iterations.
! Using the Newton-Raphson method, find the root of a function known to
! lie in the interval [x1,x2]. The root 'rtnewt' will be refined until
! its accuracy is known within +-'xacc'. 'funcd' is a user-supplied
! subroutine that returns both the function value and the first
! derivative of the function at the point x.
Integer j
Real df,dx,f
rtnewt=.5*(x1+x2) !Initial guess.
do j=1,JMAX
call funcd(rtnewt,f,df)
dx=f/df
rtnewt=rtnewt-dx
if((x1-rtnewt)*(rtnewt-x2).lt.0.)
* pause 'rtnewt jumped out of brackets'
if(abs(dx).lt.xacc) return !Convergence.
end do
pause 'rtnewt exceeded maximum iterations'
end
上記サンプルプログラムで、external funcdという行がある。これは、
EXTERNAL文と呼ばれる宣言文である。FUNCTION文の引数は、通常はその関数の独立変
数であるが、今の場合、funcdは、解きたい関数名である。そして、
この関数は、別にサブルーチンで与える。そこで、
FUNCTION文の引数が、外部手続きサブルーチンの名である事を宣言しておくのである。
Newton-Raphson法で、
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(11) |
を解け。
CfA カタログを使って、銀河の天球上の
赤経・赤緯座標、銀経・銀緯座標、の二次元マップを、
Mollwide画法で描いて見よう。
Mollwide図法では経度・緯度
-
を次の様に
-
座標に変換する。
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(12) |
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(13) |
但し、
は地図上の中心経度であり、
は
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(14) |
で定義する
。
(経度
はファイルGALAXY.DATから読み取った値を直接使用するのではない。
適切な変換をしてから使用する。
図6.2、6.3の
-軸を見て、良く考えよう。)
与えられた緯度
から上の式に基づいて
を求めるには、
先ず適当な推定値
を用意して、
Newton-Raphson法により、上の式を満たすように逐次修正して行けば良い。
修正値
は、(6.2)式を使って、
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(15) |
で求め、これを
に加えたものを改めて
として、
修正値
が予め定めておいた限界値以下になるまで、
上のプロセスを繰り返す。
Figure 6.2:
銀河の天球上の分布。赤経、赤緯座標で図示。
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赤経(
)・赤緯(
)と銀経(
)・銀緯(
)の変換は、
銀河の北極の赤経・赤緯を
,
とし、
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(17) |
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(18) |
として、
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(19) |
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(20) |
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(21) |
で与えられる。但し、
。
Figure 6.3:
銀河の天球上の分布。銀経、銀緯座標で図示。
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Jun Makino
平成15年4月17日