3 課題

だいぶいろんなことをやったので、いくつか課題を出しておく。あと何題か出 す。レポートとしては、出した課題のなかから 3 題以上を選んでやってもら うというようなつもりでいる。それ以上どこまでやるかは各人の自由であるが、 採点基準にはどれだけやったかが入ることはいうまでもないであろう。

1. 4次まで（まあ、出来なければ3次とか2次でもいいけど）の陽的ルンゲクッ タ公式に対して、安定性を決める多項式（いわゆる安定性因子）を求め、さら に複素平面上での絶対安定領域を図に示せ。

2. 陰的中点公式の安定性について議論せよ。

3. 2段4次の陰的ガウス公式について
   1. ルジャンドル多項式の 0 点をとるということから公式を導け。

   2. 実際に線形系に適用して、4次精度であることと A-安定であることを確かめよ。

   3. 2変数以上の場合に適用出来るプログラムを作り、適当な非線形方程式 を解いてみよ。例えば van der Pol 方程式で極度に非線形性の強い場合につ いて、4次の古典的ルンゲクッタと解の精度、信頼性等を比較してみよ。

4. 単振動の方程式をいくつかの方法で数値積分し、求まった数値解の精度 と計算量（微分方程式の右辺を評価した回数）の関係について議論せよ。数値 解法としては、
   1. 陽的オイラー法
   2. 陰的オイラー法
   3. 古典的ルンゲクッタ法
   4. 陰的中点公式
   5. 2段4次の陰的ガウス公式
   6. 4次ないしそれ以上の陽的アダムス法
   7. 4次ないしそれ以上の陰的アダムス法

   等（これら以外のものでも構わないが）のなかから、3種類以上試してみるこ と。