6 ルンゲ・クッタ法

ルンゲ・クッタ法というのは、ある一般的な形に書ける公式のクラスであるが、 ちょっとわかりにくいのでまず例をあげておこう。

6.1 二次のルンゲ・クッタ法

以下のような計算法を考える

これは二次の公式になっている。

6.2 公式の次数について

ここで、局所離散化誤差という概念を導入する。これは以下のように定義され る。 から出発した数値解が であったとし、また厳密 解が であるとする。これは、あくまでも からの解---局所的な 解---であって、初期条件からの解ではないことに注意して欲しい。この時に、 数値解の局所離散化誤差が m次であるとは、

という関係を満たすこと、言い換えれば、ある定数Aが存在して、

なる関係を満たすことである。 Aは方程式に依存してよいが、hには依存しない必要がある。

なお、ある公式が m次の局所離散化誤差を持つ時、大域誤差は m-1次にな る。これは、先にやったオイラー法の一次収束の証明とまったく同様に行なう ことができる。従って、誤差について議論するには、とりあえず局所離散化誤 差がわかればいいということになる。

オイラー法の局所離散化誤差は、

と、 でのxの真の解のテイラー展開

を比べてみればわかるように、になっている。

上に書いた方法はどうなっているかというのを考えると、少し計算すればわか るように、 になっている。従って、局所で3次、大域誤差で2次にな るわけである。

これは、例えば 1 次では必要な精度を実現するのに100万ステップ必要であっ たものが、大雑把にいってその平方根の 1000 ステップで済むということにな る。