9 $f(E)$の場合

上の場合でもまだちょっと大変なので、さらに単純化してとりあえず $J$ に もよらない場合というのを考えてみる。これには、なかなか特別な、 空間上の各点で速度分散が等方的であるという性質がある。これはどういうこ とかというと、一般にある方向の速度分散というのは

$$<v_e^2> = {1 \over \rho} \int v_e^2 f(v^2/2 + \Phi)d{\bf v}$$ (14)

となるが、 $f$ が $v$ の絶対値にしかよらないので、 $v_e$ の方向にこの 積分はよらない。まあ、速度分散がとかいうより、速度分布自体が等方的なの だから当然ではある。

以下、扱いやすくするために変数をとり直す。

$$\Psi = -\Phi + \Phi_0, \quad \quad \quad {\cal E} = -E + \Phi_0 = \Psi - v^2/2$$ (15)

ここで $\Phi_0$ は定数で、普通は${\cal E} > 0$ で$f > 0$, ${\cal E} \le 0$ で$f = 0$ となるようにとる。

これらを使って、さらに$v$の角度方向に渡って積分すれば

$${1 \over r^2} {d \over dr} \left(r^2{d \Psi \over dr}\right) = -16\pi^2 G \int_0^{\sqrt{2\Psi}} f(\Psi - {1 \over 2}v^2)v^2 d{\bf v}$$

$$= -16\pi^2 G \int_0^\Psi f({\cal E})\sqrt{2(\Psi - {\cal E})} d\cal E.$$ (16)

これで、一般に $f$ を与えて $\Psi$ を求めるとか、あるいはその逆とかが 出来る。

ただし、 $\Psi$ を与えて $f$ を求めようってときには、求まった $f$ が $f\ge 0$ の条件を満たすという保証はないので、そういうのは物理的には意 味がない解ということになる。