4 不安定な場合

次に、振動数が純虚数の場合を考えてみる。この時は、 $\omega = i \gamma$ として元の式にマックスウェ ル分布を入れて整理すると

$$1 + {2\sqrt{2} \pi G\rho_0 \over k\sigma^3}\int {v_x e^{-v_x^2/2\sigma^2} \over kv_x - i \gamma}dv_x = 0$$ (31)

ここで、被積分関数の分母を実数にするために

$${v_x (kv_x + i\gamma)e^{-v_x^2/2\sigma^2} \over k^2v_x^2 + \gamma^2}dv_x = 0$$ (32)

と書き直すと、虚部は奇関数なので落ちる。実部は

$$\int_0^{\infty} {x^2 e^{-x^2} \over x^2 + \beta^2} dx = { 1 ... ...rt{\pi} - {1 \over 2} \pi\beta e^{\beta^2}[1-{\rm erf}(\beta)]$$ (33)

なる関係を使って

$$k^2 = k_J^2\left\{ 1- {\sqrt{\pi}\gamma \over \sqrt{2}k\sigm... ...rf}\left({\gamma \over \sqrt{2}k\sigma}\right)\right]\right\}$$ (34)

なんだかよくわからないが、まあ、 $k$ と $\omega$ ($\gamma$) の関係を与 えてはいる。 $k<k_J$なら、ある実数 $\gamma$（正負どちらでも）があって 上を満たす。ただし、 $k=k_J$ の場合と $k=0$ の極限を除いては、値は流体 の場合とは一致しない。

というわけで、波長がジーンズ波長よりも長いモードは流体と同様不安定で、 勝手に成長することになる。