4 練習

1. 陰的中点公式の安定性領域を求めよ。

2. van der Pol 方程式
   

   $$\frac{d^2x}{dt^2}+x+\epsilon(x^2-1)\frac{dx}{dt} = 0$$ (22)

   
   

   の数値解を、 $\epsilon=0.1, 1, 10, 100$ の時に適当な陰的公式と陽的公式 （後退オイラーと前進オイラーでもOK）で求めてみよ。

3. 2段4次の陰的ガウス公式について
   1. ルジャンドル多項式の 0 点をとるということから公式を導け。

   2. 実際に線形系に適用して、4次精度であることと A-安定であることを確かめよ。

   3. 2変数以上の場合に適用出来るプログラムを作り、適当な非線形方程式 を解いてみよ。例えば van der Pol 方程式
      

      $$\frac{d^2x}{dt^2}+x+\epsilon(x^2+1)\frac{dx}{dt} = 0$$ (23)

      
      
      で極度に非線形性の強い場合につ いて、4次の古典的ルンゲクッタと解の精度、信頼性等を比較してみよ。