4 練習

1. ガウス・ザイデル法で以下のポアソン方程式の境界値問題を解くプログ ラムを作成せよ。
   

   $$\nabla^2 u(x,y) = \rho(x,y), \quad(x_0\le x \le x_1, y_0 \le y< \le y_1)$$ (15)

   $$u(x_0,y) = u(x_1,y) = u(x,y_0) = u(x,y_1) = 0$$ (16)

   
   
   ただし、 $x_0=y_0=0$, $x_1=y_1=1$ としてよい（入力パラメータとして読め る汎用的なプログラムを作ってくれればもちろんそのほうがよい）。 さらに、 $\rho(x,y) = \sin \pi x \sin \pi y$ として、初期推定 $\mbox{\boldmath$u$}=0$ から出発した時に
   • 残差 $\vert A\mbox{\boldmath$u$}-\mbox{\boldmath$\rho$}\vert$ が反復を繰り返した時にどのように 0に近付くか
   • 収束した時に、真の解との差（誤差）はどうなっているか
   を空間刻み $n_x$ ($n_y=n_x$ としてよい) のいくつかの値について調べ、そ れから精度が$n_x$の何乗になっているか議論せよ。

2. さらに、 SOR について同様に調べよ。最適な $\omega$ の値は $n_x$ に依存するかどうかも議論すること。

3. $\rho(x,y) = \sin k\pi x \sin k\pi y$ ($k$は整数)の時に、誤差は どうなるか、理論的または数値的（両方あればそれもOK）議論せよ。

4. $\rho$ がデルタ関数 $\delta(x-0.5,y-0.5)$ の時に、厳密解をフーリ エ級数の形で表せ。
5. 上と同じデルタ関数の時に数値解を求めて、 $y=0.5$ の線上で誤差が どのように分布するか調べよ。また、誤差の等高線表示や3次元表示を適当な ツールを使って作ってみよ。(PGPLOT には等高線表示をするサブルーチンが準 備されている）

6. 例えば3次元的な星の自己重力を計算するためには、境界条件を「無限 遠で 0 」という形に置く必要がある。これにはどうすればよいか検討せよ。