9 練習

1. メインプログラムを付け加えて、1次の陰解法のプログラムを完成し、 $\Delta t/\Delta x$ をいろいろ変えて安定に計算できることを確認せよ。

2. クランク・ニコルソン法が無条件安定であることを証明せよ。

3. クランク・ニコルソン法のプログラムを作り、上と同様に安定であるこ とを確認せよ。

4. クランク・ニコルソン法の誤差が $\Delta t$, $\Delta x$ のそれぞ れ何乗になっているか、 $\Delta t$, $\Delta x$ をいろいろ変えてプログラムを走ら せて結果を厳密解と比べることで調べよ。厳密解と比べるには、初期条件がデ ルタ関数では具合が良くないのでどういうものを使うべきか考えてみること。

5. クランク・ニコルソン法が時間方向2次精度であることを証明せよ。

6. 前進差分、クランク・ニコルソン法、後退差分は、 時刻 $j$ と $j+1$ での空間微分の混ぜ方を変えているだけである。これらすべてを統一的に計算 できるプログラムを作成し、正しく動くことを確認せよ。

7. さらに、周期境界の場合も扱えるようにプログラムを拡張せよ。3重対 角行列の処理の部分をどう変えればいいか？