講義第11回：Pascal プログラミング --- 再帰、方程式

再帰

もっとも簡単な例

program recursion_sample(input, output);
var n : real;

    function factrial(n :real): real;
    begin
        if n=1.0 then begin
            factrial := 1.0;
        end else begin
            factrial := n*factrial(n-1);
        end;
    end;
begin
    write('Enter n : ');
    readln(n);
    writeln('N = ', n:5, ' N! = ', factrial(n):20);
end.

Pascal のようなプログラミング言語では、この定義に従って素直にプログ ラムを書くことができる。上の例では、まさに、 n が 1 なら 1 を返 し、それ以外では n*factrial(n-1)を返すというのが、 factrial(n)の中身になっている。 例えば factrial(5) を計算させるとすると、実際の計算は、以下のよ うな手順で進む。

factrial(5)
→5*factrial(4)
→5*(4*factrial(3))
→5*(4*(3*factrial(2)))
→5*(4*(3*(2*factrial(1))))
→5*(4*(3*(2*1)))
→5*(4*(3*2))
→5*(4*6)
→5*24
→120

練習

1. 階乗を計算する関数を、再帰を使わない形に書き直してみよ。
2. ある程度大きな数の階乗は正しく計算できない。計算できるのはい くつまでか。またそれより大きな数を入れた時にでる答えはどういう意味があ るか。
3. フィボナッチ数列$F(n) = F(n-1) + F(n-2), F(0)=0, F(1)=1を再 帰、再帰でないものの両方を使って書け。なお、変数には real または double を使うこと。
4. 上のフィボナッチ数列について、n を大きくしていった時に計算の手間が どのように増えるかを、再帰の場合とそうでない場合のそれぞれについ て考察せよ。

お絵書き

program tree_display(input, output);
#include <xgraph.h>
var gdriver, gmode : integer;
    x,y,vx,vy      : real;
    i,j            : integer;
    procedure tree(n, x, y: integer; angle, length : real);
    var x1, y1 : integer;
    begin
        if n > 0 then begin
            setcolor( n mod 7 + 1);
            x1 := round(x + length*cos(angle));
            y1 := round(y - length*sin(angle));
            line(x,y,x1,y1);
            tree(n-1,x1,y1,angle + 0.25, length*0.7);
            tree(n-1,x1,y1,angle - 0.25, length*0.7);
        end;
    end;
begin
    initgraph(gdriver, gmode, '');
    cleardevice;
    clrscr;
    tree(10, getmaxx div 2, getmaxy, pi/2, getmaxy  div 4);
    readln;
    closegraph;
end.

再帰を使うことで、角度、長さを変えて自分自身を呼び出すという形で簡潔に アルゴリズムが表現できている。

練習

1. この木では、枝が2本ずつ出ているが、もっとたくさん出すにはどうすればい いだろうか？
2. この木は枝分かれが完全に規則的で不自然である。自然にするにはどうすれ ばいいだろうか？
   （ヒント：random(x) --- x は実数 --- という関数を呼ぶと、0 から x まで の範囲の乱数 --- デタラメな数 --- を返す。これを使って枝分かれの長さ、 角度を変えて見よう)
3. 以下に示すようなフラクタル図形も、うえのプログラムと同じよう な考え方で作ることができる。どのようにすればいいかを考えて、 プログラムを作ってみよ。
   
   

代数方程式

ニュートン法 (Newton-Raphson method)

program newton_raphson(input, output);
var x, f, df: real;
begin
    x := 1.0;
    repeat
        f :=  cos(x) - x;
        df:= -sin(x) - 1.0;
        x := x - f/df;
        writeln('x=', x:20:16, ', cos(x)-x=', f);
    until abs(f) < 1e-10;
end.

実行例

x=  0.7503638678402439, cos(x)-x=-4.59697694131860e-01
x=  0.7391128909113617, cos(x)-x=-1.89230738221174e-02
x=  0.7390851333852840, cos(x)-x=-4.64558989907715e-05
x=  0.7390851332151607, cos(x)-x=-2.84720580445708e-10
x=  0.7390851332151607, cos(x)-x= 0.00000000000000e+00

練習

1. 方程式の形を、 x=cos x 以外のものにして、同じように近似解 を求めて見よ。いつでも答えは求まるか？
2. ニュートン法で繰り返し計算を行なった時に、真の解との差は通常 どのように小さくなることが期待されるか？またそのようにならないのは関数 がどのような性質を持つ時かについて考察せよ。

直接代入法

これは、以下のようなプログラムで実現できる。

program direct_iteration(input, output);
var x, xold: real;
begin
    x := 1.0;
    repeat
        xold := x;
        x :=  cos(x) ;
        writeln('x=', xold:20:16, ', x-cos(x)=',xold-x:20:16 );
    until abs(x-xold) < 1e-10;
end.

練習

1. 方程式の形を、 x=cos x 以外のものにして、同じように近似解を 求めて見よ。いつでも答えは求まるか？
2. 近似解の初期値 x0 が十分に真の解 x に近い時に、解が求ま るための必要十分条件を求めよ。ここで、「十分に近い」と は、関数 f(x) をその接線で近似してよい（テイラー展開の2 次以上の項を無視できる）という意味である。
3. さらに、解が求まる場合に、収束の速さについて考察せよ。

• 通常の場合、ニュートン法がもっとも速く、正確な答を求められ る。
• 二分法は、導関数の性質が悪い（例えば、解が鞍点である、関数 が不連続である）ばあいでも、解のある範囲がわかっていれば大 抵答が求まる。
• 直接代入法はプログラムが簡単であり、導関数も必要としない。 また、場合によっては非常に収束が速い。

しかし、連立一次方程式を解くこと自体それほど簡単ではないし、また、 すべての偏導関数を計算するプログラムを作るのも結構厄介である。

これに対し、直接代入法では、ほとんど何も考えなくてもプログラムが 作れる。もちろん、答が求まるための条件がつくが、様々な実用上の問 題で結構うまく求めることができる。

レポート

• プログラム
• 実行結果
• 考察

cc76821@komaba.ecc.u-tokyo.ac.jp

次回予告