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10. 指数関数的増加と(片)対数グラフ(2021/6/26)

Figure 10: イスラエルの日毎の新規感染者数。 2021/6/24 まで

図 10 に、イスラエルでの去年2月から6月24日までの新型コロナウィルス新規感染者の日毎の数のグラフを示します。データ出典

左側は「片対数」グラフと呼ばれるもので、グラフの縦軸が「対数」というものになっています。一方、右側が実際の数をそのまま縦軸にとっています。

左側を見ると、2021年6月後半はすごくグラフが急になっていて危ない感じがする一方、右側だとちょっと増えてるだけで大したことがないように見えます。ここでは、どっちの印象が正しいか、それは何故か、をなるべくやさしく解説しようと思います。

まず対数とはなにか、ということですが、左側のグラフの目盛りを見るとわかるように、 1, 10, 100, 1000, 10000 と10倍になると1つ目盛りが増えるものです。算数としては、1の対数が0、10の対数が1、100の対数が2で、あとは順番に100万の対数なら6、1億なら8、1兆なら12、という具合です。どんなに大きな数でもその対数は計算できます。逆に、 0.1 の対数は -1, 0.01 なら -2、、、とこちらもどんな小さな数でも計算できます。 0 や負の数に対しては対数は計算できません。

1、10 の対数が 0、1になるとして、じゃあ 2 とか3とかはどうするのか？逆に、対数が 0.5 になるような数はなにか？ということが気になる人がいると思います。前者は少し難しいのでまずは後者から説明します。

答から先にいうと、対数が 0.5 になる数は10の平方根です。10、 100、1000、、、の対数が 1、2、3、、、である、ということを、「もとの数に10を掛ける」ということが「対数に1を足す」といことに対応する、と言い換えてみます。そうすると、「対数に 0.5 を足す」のは2回繰り返すと「対数に1を足す」になるわけです。

なので、「対数に 0.5 を足す」が「元の数になにかを掛ける」にやはり対応するとすると、そのなにかは2回掛けると10になる数、つまり10の平方根である、ということになります。

この議論から、対数が 1/3=0.333... や 1/4=0.25 になる数、一般に n が 1, 2, .... の数、つまり自然数として対数が 1/n になる数は n回掛けると10になる数であればよいことがわかります。これは 10 の n乗根に対応する対数が 1/nだということです。さらに、有理数、つまり m、n がどちらも自然数として分数 m/n で表わされる数が対数になるようなもとの数は 10のn乗根を m回掛けたもの、つまり m乗であることがわかります。例えば、対数が 0.3 になる数は、 10の10乗根 1.2589... の3乗で1.995... となります。

ここまでの議論は、 10の何乗、というもの、つまり10のべき乗を、整数だけでなくて有理数に拡張した、と考えることもできます。10の 0.31 乗なら、10の100乗根の31乗なわけです。そうすると、対数は、10のべき乗の「逆関数」つまり、ある数 y に対して10のy乗をと書くと、ある数x の対数とは

になるyである、ということです。つまり、対数関数を log(x) と書くと、 y=log (x) は上の式を満たすyである、ということです。

では2の対数は？というと、 10の m/n乗がぴったり2になる有理数 m/n は存在しませんが、無限小数でどこまでも2に近くなるものは存在するので、それが 2の対数だ、ということになります。

このような対数でグラフを書くとどういう良いことがあるか、ということですが、例えば感染者の数が毎日10%づつ増えているとしましょう。そうすると、これは、ある日の感染者数に対して次の日の感染者数は 1.1 をかけたものである、ということです。そうすると、感染者数の対数を考えると、ある日の数に対して次の日の数は log(1.1)=0.042 を足したものになる、ということです。つまり、「10%づつ増える」が、対数で見ると「0.042づつ増える」になって、単に直線に見えることになります。

新型コロナに限らず、感染症は、基本的に現在感染している人が周りの人を感染させることで広がっていくので、特に対策がないと、今1日10%増えていたら明日も明後日も1週間後も1日10%増える、つまり、対数で目盛りをとると直線で増えていきます。

左側のグラフはそういう、軸が対数のグラフになっていて、 10, 100, 1000 と目盛りが書いてありますが実はこれらは対数で 1, 2, 3 で、対数のままではわかりにくいので値だけもとの10、100、1000が書いてあるわけです。

左側のグラフでは、イスラエルの感染者数が大きく増えたのは昨年3月、7月、9月、12月と現在6月後半の5回ですが、1日あたりの増えかたが急なのは昨年3月と今で、どちらも10日で10倍程度になっていることがわかります。昨年3月にはイスラエルは 3/19 にロックダウンして、急激な増加を抑え込むことに成功しましたが、現在の増加に対してはまだ有効な対策を打ち出せておらず、非常に危険な状況であることがわかります。

なお、 1日10%増える、ということは、ある日に n だったとして i 日後の数はということで、これを「指数関数的増加」といいます。数学で指数関数というとで、は「自然対数の底」と呼ばれる数で 2.71828... です。何故この形のものを特別に「指数関数」というかというと、色々な重要な関係式があるからですが、そのうちの1つは、の微分はそのものである、ということです。