11.2 A-安定性

さて、この硬さというのが問題かどうかということであるが、仮にある公式の 絶対安定領域が左半平面 全体を含んでいれば、硬かろうがなん だろうが問題ではないということはすぐにわかるであろう。この、絶対安定領 域が左半平面を含むという性質を、ダールキストは A-安定性と名付けた。

A-安定性については、ダールキスト自身による次の否定的な結果がある

• 陽的ルンゲ・クッタ法は A-安定でない。
• 陽的線形多段階法は A-安定でない。
• 陰的線形多段階法でA-安定であるものの次数は 2 以下である。
• A-安定である陰的線形多段階法のうち、局所誤差がもっとも小さいもの は台形公式である。

証明は面倒なので省略する。

これに対し、陰的ルンゲ・クッタ公式については以下の素晴らしい結果が知ら れている

• 対称な p 段 2p 次公式（陰的ガウス公式）はすべて A-安定である。