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4 不安定な場合

次に、振動数が純虚数の場合を考えてみる。この時は、 $\omega = i \gamma$ として元の式にマックスウェ ル分布を入れて整理すると

\begin{displaymath}
1 + {2\sqrt{2} \pi G\rho_0 \over k\sigma^3}\int
{v_x e^{-v_x^2/2\sigma^2} \over
kv_x - i \gamma}dv_x = 0
\end{displaymath} (31)

ここで、被積分関数の分母を実数にするために
\begin{displaymath}
{v_x (kv_x + i\gamma)e^{-v_x^2/2\sigma^2} \over
k^2v_x^2 + \gamma^2}dv_x = 0
\end{displaymath} (32)

と書き直すと、虚部は奇関数なので落ちる。実部は
\begin{displaymath}
\int_0^{\infty} {x^2 e^{-x^2} \over x^2 + \beta^2} dx =
{ 1 ...
...rt{\pi} - {1 \over 2} \pi\beta
e^{\beta^2}[1-{\rm erf}(\beta)]
\end{displaymath} (33)

なる関係を使って
\begin{displaymath}
k^2 = k_J^2\left\{ 1- {\sqrt{\pi}\gamma \over \sqrt{2}k\sigm...
...rf}\left({\gamma
\over \sqrt{2}k\sigma}\right)\right]\right\}
\end{displaymath} (34)

なんだかよくわからないが、まあ、 $k$$\omega$ ($\gamma$) の関係を与 えてはいる。 $k<k_J$なら、ある実数 $\gamma$(正負どちらでも)があって 上を満たす。ただし、 $k=k_J$ の場合と $k=0$ の極限を除いては、値は流体 の場合とは一致しない。

というわけで、波長がジーンズ波長よりも長いモードは流体と同様不安定で、 勝手に成長することになる。



Jun Makino 平成20年6月11日