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4 練習

プログラムが必要なものはプログラムを提出 すること。

  1. 2次元ケプラー問題


    \begin{displaymath}
\frac{d^2 \mbox{\boldmath$x$}}{dt^2} = -\frac{\mbox{\boldmath$x$}}{x^3}
\end{displaymath} (45)

    について、古典ルンゲクッタと leap frog の両方で、適当な初期条件(解が 楕円になるものをとること)から出発して 10, 1000, $10^6$ 周期後の解の厳 密解からの誤差が刻み幅のどのような関数になるか調べよ。ここでは刻み幅は 固定とする。

  2. 4次のシンプレクティック公式は、 $L(h)$ が刻み幅 $h$ の leap frog を表す作用素であるとして、以下のように書ける。
    $\displaystyle S_4(h)$ $\textstyle =$ $\displaystyle L(d_1h)L(d_2h)L(d_1h),$  
    $\displaystyle d_1$ $\textstyle =$ $\displaystyle 1/(2-2^{1/3}),\quad d_2 = 1-2d_1 = -2^{1/3}/(2-2^{1/3})$ (46)

    つまり、リープフロッグでまずちょっと行き過 ぎて、次に逆に戻って、最後に最初と同じだけ進んで次の時刻に行くというも のである。これをプログラムし、 1 と同様な解析を行なえ。

  3. 4次のエルミート公式についても同様な解析を行なえ。説明されている ものは陰的公式なので、予測子に何を使えるかは各自検討すること。

  4. 2.1 で述べた古典的 RK 法で誤差の調整をする方法をプログラムし、離 心率の大きなケプラー問題について刻み一定の場合にくらべてどの程度得にな るか調べてみよ。



Jun Makino
平成16年11月22日